Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Метод Зейделя Метод Ньютона Метод хорд
Решение уравнений Метод LU-разложения Метод Гаусса
Матрица Гессе Градиент функции Экстремум функции

Минимум функции методом Ньютона

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор используется для нахождения минимума функции двух переменных методом Ньютона. Решение оформляется в формате Word. Чтобы найти минимум функции одной переменной, используйте этот калькулятор.
f(x1,x2) =
Метод отыскания минимума функции
Начиная из точки ( ; ).
Точность ξ = Количество итераций
Правила ввода функций:
  1. Все переменные выражаются через x1,x2
  2. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x12+x1x2, записываем как x1^2+x1*x2.

Пусть функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и Xk - некоторая точка пространства поиска. Из курса математического анализа известно, что дважды непрерывно дифференцируемую функцию в достаточно малой окрестности точки Xk можно разложить в ряд Тейлора, отбрасывая члены третьего и более высоких порядков:

где G(Xk) - матрица Гессе.

Повторяя эту процедуру, получим рекуррентную формулу метода Ньютона:
, k = 0,1,2…
В задачах поиска минимума произвольной квадратичной функции с положительно определенной матрицей вторых производных, метод Ньютона дает решение за одну итерацию независимо от выбора начальной точки. В общем случае метод Ньютона может расходиться, если начальное приближение находится вдали от точки минимума. Сходимость метода Ньютона можно гарантировать только в тех случаях, когда начальное приближение находится в достаточно малой окрестности точки минимума и матрица Гессе положительно определена и хорошо обусловлена. Поэтому на практике этот метод обычно используется в сочетании с одним из методов, быстро сходящимся вдали от точки минимума.

Пример 1. Начиная из точки xk=(10;10), определите точку xk+1 методом Ньютона для минимизации функции 8x12+4x1x2+5x22.
В качестве направления поиска выберем ньютоновское направление, для этого вычислим градиент:

Значение градиента в точке X1:

Проверим критерий остановки:
|∆f(X1)| < ε
Имеем:
|∆f(X1)| = 20*sqrt(149)>ε
Сделаем шаг вдоль ньютоновского направления:

Найдем матрицу Гессе и обратный гессиан.



Матрица Гессе:
Обратный гессиан:
detG = 16•10 - 4•4 = 144

Получим:

В этой точке |∆f(X1)| = 0 и матрица Гессе положительно определена, следовательно

Пример 2.
В качестве направления поиска выберем ньютоновское направление, для этого вычислим градиент:

▽f(X) =
-4-x2+6*x1
-x1+2*x2

Значение градиента в точке X1:
▽f(X1) =
-19
8
Проверим критерий остановки: |▽f(X1)| < ε
Имеем: |▽f(X1)| = 5*sqrt(17)>0.1
Сделаем шаг вдоль ньютоновского направления:
X2 = X1 - G-1▽f(X1)
Найдем матрицу Гессе и обратный гессиан.



Матрица Гессе:
G =
6-1
-12

Обратный гессиан:
detG = 6•(-1) - 2•2 = 11
21
16

Получим:
X2 =
-2
3
21
16
-19
8
=
8/11
4/11

В этой точке |▽f(X1)| = 0 и матрица Гессе положительно определена, следовательно
Xmin =
8/11
4/11

Итерация №2.
В качестве направления поиска выберем ньютоновское направление, для этого вычислим градиент:
▽ f(X) =
-4-x2+6*x1
-x1+2*x2

Значение градиента в точке X1:
▽ f(X1) =
0
0
Проверим критерий остановки: |▽f(X2)| < ε
Имеем: |▽f(X1)| = 0<0.1