Модель Холта

• Шаг №1
• Шаг №2
• Решение

Метод основан на оценке степени линейного роста (или падения) показателя во времени. Фактор ростаlоценивается по коэффициенту b_t, который и свою очередь вычисляется как экспоненциально взвешенное среднее разностей между текущими экспоненциально взвешенными средними значениями процесса u_t и их предыдущими значениями u_t-1 Характерная особенность данного метода: вычисление текущего значения экспоненциально взвешенного среднего u_t включает в себя вычисление прошлого показателя роста b_t-1, адаптируясь таким образом к предыдущему значению линейного тренда.
u_t=αy_t + (1-α)(u_t-1+b_t-1)
b_t=β(u_t-u_t-1) + (1- β)b_t-1
где параметры α и β лежат в пределах от нуля до единицы. Обычно рекомендуется параметры α и β брать не превышающими значения 0,3.
Начальные значения уровня u₀ и тренда b₀ существенно влияют на качество прогноза, особенно для коротких рядов. Ниже приведены основные алгоритмы.

• Первое наблюдение u₀=y₁, b₀=y₂−y₁. Минимум данных, но чувствителен к выбросам.
• Нулевой тренд u₀=y₁, b₀=0. Подходит, если тренд слабо выражен в начале.
• Среднее первых наблюдений , b₀=(y_k−y₁)/(k-1). Сглаживает шум; обычно k=3÷5.
• Коэффициент наклона линии, образованной этими k точками (коэффициент b уравнения тренда).

Прежде чем приступить к прогнозированию по той или иной прогностической модели тренда, необходимо определить период, на который осуществляется прогноз. Обычно принимается, что прогноз вычисляется на t моментов времени вперед (период упреждения), т. е. до момента t+t (горизонт прогнозирования).
После оценки в модели Холта показателя роста (или падения) b_t прогноз на k моментов времени, т. е. f_t+k , вычисляется суммированием оценки среднего текущего значения (u_t) и ожидаемого показателя роста b_t, умноженного на количество моментов времени прогнозирования k, т. е.
f_t+k=u_t+b_tk

Пример.
В качестве y₀ берем среднее арифметическое первых 3 значений ряда.
y₀ = (7266 + 6961 + 6334)/3 = 6853.667
Угол наклона прямой, образованной 3 точками первой реализации, можно найти с помощью метода наименьших квадратов.
Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
Система уравнений МНК:
an + b∑t = ∑y
a∑t + b∑t² = ∑y*t

Прогнозирование

Анализ и выводы