Виды дисперсий

Межгрупповая дисперсия (δ) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:
.

Внутригрупповая дисперсия (σ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она вычисляется по формуле:
.

Средняя из внутригрупповых дисперсий: .

В анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации (η²): .
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (η):
.
Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1.
Покажем его практическое использование на следующем примере (табл. 1).

Пример №1. Таблица 1 - Производительность труда двух групп рабочих одного из цехов НПО «Циклон»

Исходные данные для вычисления средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии представлены в табл. 2.
Таблица 2
Расчет и δ² по двум группам рабочих.

Наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления следующих видов дисперсий:

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле:
σ²pi=pi(1-pi) (1)

Средняя из внутригрупповых дисперсий рассчитывается так:
(2)

Формула межгрупповой дисперсии имеет вид:
, (3)
где n_i – численность единиц в отдельных группах.

Доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:
(4)

Три вида дисперсии связаны между собой следующим образом:
σ²p=σ²pi+δpi²

Это соотношение дисперсий называется теоремой сложения дисперсий доли признака.

Пример №2. Имеются следующие данные об удельном весе основных рабочих в трех цехах фирмы (табл. 2).
Таблица 2 - Удельный вес основных рабочих фирмы

Проверка вычислений показывает: 0,154 = 0,15 + 0,004.

Дисперсионный анализ

Свойства дисперсии

среднее квадратическое отклонение (σ):
(простое среднеквадратическое отклонение),
(взвешенное среднеквадратическое отклонение).
Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно выражается в тех же единицах, что и признак.

Расчет дисперсии может быть упрощен. В случае равных интервалов в вариационном ряду распределения используется способ отсчета от условного нуля (способ моментов). Для его понимания необходимо знать следующие свойства дисперсии:

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Свойство 2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину A не меняет величины дисперсии σ²_(X-A)=σ²_X. Значит, средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какого-либо постоянного числа.

Свойство 3. Уменьшение всех значений признака в K раз уменьшает дисперсию в K² раз, а среднее квадратическое отклонение в K раз . Значит, все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число, например, на величину интервала ряда, исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число: σ_X=σ_X/K·K.

Свойство 4. Если вычислить средний квадрат отклонений от любой величины A, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической (x), то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, вычисленного от средней арифметической σ²A>σ²X. Средний квадрат отклонений при этом будет больше на величину (x–A)² :

Рассмотрим расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по данным таблицы.
Таблица - Вычисление σ² и σ по несгруппированным данным.

2) Находим отклонения x_i от и записываем их в гр. 2. Возводим отклонения во вторую степень, отводим для них гр. 3. Их сумма – 44 800.

3) Разделив ее на число единиц совокупности, получаем дисперсию:
.

4) Извлекая корень из второй степени получаем среднее квадратичное отклонение равное 86,4099.
Степень вариации в данной совокупности не велика, т.к. средняя величина равна 500 ц. Это говорит об однородности рассматриваемой нами совокупности.

Рассмотрим вычисление дисперсии и среднеквадратического отклонения по сгруппированным данным табл. 5.3.
Таблица 5.3 - Расчет σ² и σ в двух вариационных рядах с разным распределением частот.

.

На математических свойствах дисперсии основываются способы, которые позволяют упростить ее вычисление. Например, расчет дисперсии по способу моментов или способу отсчета от условного нуля применяется в вариационных рядах с равными интервалами. Расчет производится по формуле:
,
где K – ширина интервала;
A – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
– момент второго порядка.

Между средним линейным и средним квадратическим отклонениями существует примерное соотношение σ=12.5·d, если фактическое распределение близко к нормальному.
В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений:
1) в пределах ± 1σ располагается 68,3 % количества наблюдений;
2) в пределах ± 2σ – 95,4 %;
3) в пределах ± 3σ – 99,7 %;
В действительности, на практике почти не встречаются отклонения, которые превышают ±3σ. Отклонение 3σ может считаться максимально возможным. Это положение называют «правилом трех сигм».

Пример. Межгрупповая дисперсия равна 340, общая  - 380. Определите среднюю внутригрупповую и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение.
общая  дисперсия (σ) = Межгрупповая дисперсия (δ) + средняя внутригрупповая
средняя внутригрупповая = общая  дисперсия (σ) - Межгрупповая дисперсия(δ) = 380-340=40
Эмпирическое корреляционное отношение: