Пример решения контрольной работы

Задание 2.
Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12у –65 = 0 и 5х – 12у + 26 = 0. Вычислить его площадь.
Решение.
Так как то прямые параллельны и они различны. Найдем длину стороны квадрата - это расстояние между параллельными прямыми. Возьмем точку M₁(1;-5) ∈ первой прямой. Тогда расстояние от точки M₁ до второй прямой равно


Значит a=7. Тогда S=a² = 49.

Задание 3.
Записать общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки P(-3,2,5) на плоскости 4х + у –3z + 13 =0 и х –2у +z – 11 = 0.
Решение.
Запишем уравнение любой прямой, проходящей через точку P: .
Координаты (l,m,n) направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального вектора n = (4; 1; -3) плоскости 4х + у – 3z + 13 =0. Тогда уравнение прямой запишется в виде
Найдем проекцию точки P на данную плоскость, решив совместно уравнения
4х + у – 3z + 13 = 0,
Перепишем уравнение прямой в виде: x=4t-3, y=t+2, z=-3t+5.
Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости найдем t.
4(4t – 3 ) + t + 2 – 3 (-3t + 5) + 13 = 0
16t –12 + t + 2 + 9t – 15 + 13 = 0
26t = 12, t =
Тогда


проекция точки P на плоскость 4x + y – 3z + 13 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через точки P и P₁.


Теперь найдем проекцию точки P на плоскость x- 2y + z – 11 = 0.


Уравнение прямой проходящей через точки P и P₂.
(2)
Искомая плоскость проходит через прямые (1) и (2). Так как величины l₁, m₁, n₁ не пропорциональны величинам l₂, m₂, n₂, то прямые пересекаются при выполнении условия

Задание 4.
Найти длину отрезка прямой, параллельной вектору l=(0,3,4), между точками пересечения её с плоскостями 2x + y – z – 6 = 0 и 2x + y – z – 4 = 0.
Решение.
Плоскости параллельны, т.к.

от точки B₁ плоскости α₁ отложим вектор B₁B₂ = l₁
Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны. Значит длина искомого отрезка равна длине вектора l.

Ответ 5.

Задание 5.
Найти те значения m и n, при которых прямая пересекает прямые

Решение.
Приведем уравнения (1) и (2) к каноническому виду.

(1)
Найдем S=li+mj+nk параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам.
N₁=3i-2j и N₂=i-3j
заданных плоскостей, то за S можно принять векторное произведение векторов N₁ и N₂.

Таким образом l=6, m=9, n=3 в качестве точки M₁(x₁,y₁,z₁) через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения и с любой из координатных плоскостей.
Например, с плоскостью XOZ. Так как при этом y₁=0, то координаты x₁ и z₁ определяются из системы уравнений заданных прямых, если в них положить y = 0.

Решая эту систему находим x₁=-1, z₁=1.

Прямые будут пересекаться, если


В нашем случае x₁=-1, y₁=0, z₁=1, x₂=1, y₂=2, z₂=0, l₁=6, m₁=9, n₁=3, l₂=m, m₂=n, n₂=34

15m - 12n + 34 * 6 = 0.
(2)

Z₁=0; ; x₁=2, y₁=-1


6m+2n-13*34=0
Теперь решим систему



Ответ: m = 48; n = 77.

Задание 6.
Дано, что прямая, пересекающая ось аппликат в точке (0,0,z₀), z₀>0 параллельна плоскости 2x+3y+6z+7=0 отстоит от неё на расстоянии 7 и перпендикулярна оси координат. Найти абсциссу точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью z = 0.
Решение.
Так как искомая прямая перпендикулярна оси Oу, то она находится в плоскости XOZ, и проходит через точки (0;0;z₀) и (x₁;0;0).
Так как она параллельна плоскости 2x+3y+6z+7=0, то расстояние между ними, равное 7, это расстояние от какой либо точки прямой до плоскости, которое вычисляется по формуле:

Имеем

Ответ: абсцисса точки пересечения прямой с плоскостью z = 0 21 или -28.

Задание 7.
Записать уравнение касательной к окружности x²+y²-4x+8y=17 в точке M(1,2).
Решение.


принадлежит окружности. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенного в точку касания. В качестве вектора нормали касательной можно взять вектор CM, где С(2;-4)- центр окружности.
СМ = ( -1; 6)
X –6y + c = 0
1 – 12 +c = 0
c = 11
x – 6y + 11 = 0 -искомое уравнение касательной.

Задание 8.
Дана кривая 9x²+25y²-18x-150y+9=0
8.1 Доказать, что эта кривая - эллипс (решение проводится с помощью онлайн-калькулятора).
8.2 Найти координаты центра его симметрии.
8.3 Найти его большую и малую полуоси.
8.4 Записать уравнение фокальной оси.
8.5 Построить данную кривую.
Решение.
8.1

8.2 Центр его симметрии находится в точке ( 1; 3 ).
8.3 Большая полуось а = 5
Малая полуось в = 3
8.4 Уравнение фокальной оси у = 3.
8.5.

Задание 9.
Дана кривая x²-10x+2y+25=0
9.1. Доказать, что данная кривая - парабола.
9.2. Найти координаты её вершины.
9.3. Найти значение её параметра p.
9.4. Записать уравнение её оси симметрии.
9.5. Построить данную параболу.
Решение.
9.1. x²-10x+25=-2y
(x-5)²=-2y
x-5=x₁
x²₁=-2y - это Уравнение параболы, симметричной относительно оси Oy.
9.2. Вершина параболы (5; 0)
9.3 Сравнивая уравнение параболы с каноническим уравнением параболы x²=2py находим
2p = -2, откуда p = - 1.
9.4.Ось симметрии х = 5.

Задание 10.
10.Дана кривая 15x²-20xy-70x+20y+135=0
10.1.Доказать, что эта кривая - гипербола.
10.2.Найти координаты её центра симметрии.
10.3.Найти действительную и мнимую полуоси.
10.4.Записать общее уравнение фокальной оси.
10.5.Построить данную гиперболу.
Решение.

10.1.