Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Дискриминант Интегралы онлайн Пределы онлайн
Производная онлайн Ряд Тейлора Решение уравнений
Метод матриц Обратная матрица Умножение матриц

Пример решения контрольной работы

Задание 1.
Записать уравнение прямой, проходящей точки M1(-1,2) и M2(-3,-2). Найти значения параметров k и b для этой прямой.
Решение.
Уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1,x2) и M2(x1,x2) имеет вид .
Значит или 4(х+1)=2(у-2)
У = 2х + 4, где k = 2; b = 4.

Задание 2.
Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12у –65 = 0 и 5х – 12у + 26 = 0. Вычислить его площадь.
Решение.
Так как то прямые параллельны и они различны. Найдем длину стороны квадрата - это расстояние между параллельными прямыми. Возьмем точку первой прямой. Тогда расстояние от точки M1 до второй прямой равно


Значит . Тогда

Задание 3.
Записать общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки P(-3,2,5) на плоскости 4х + у –3z + 13 =0 и х –2у +z – 11 = 0.
Решение.
Запишем уравнение любой прямой, проходящей через точку P: .
Координаты (l,m,n) направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального вектора n = (4; 1; -3) плоскости 4х + у – 3z + 13 =0. Тогда уравнение прямой запишется в виде
Найдем проекцию точки P на данную плоскость, решив совместно уравнения
4х + у – 3z + 13 = 0,
Перепишем уравнение прямой в виде:
Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости найдем t.
4(4t – 3 ) + t + 2 – 3 (-3t + 5) + 13 = 0
16t –12 + t + 2 + 9t – 15 + 13 = 0
26t = 12, t =
Тогда


проекция точки P на плоскость 4x + y – 3z + 13 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через точки P и P1.


Теперь найдем проекцию точки P на плоскость x- 2y + z – 11 = 0.


Уравнение прямой проходящей через точки P и P2.
(2)
Искомая плоскость проходит через прямые (1) и (2). Так как величины не пропорциональны величинам то прямые пересекаются при выполнении условия

Задание 4.
Найти длину отрезка прямой, параллельной вектору l=(0,3,4), между точками пересечения её с плоскостями 2x + y – z – 6 = 0 и 2x + y – z – 4 = 0.
Решение.
Плоскости параллельны, т.к.

от точки B1 плоскости α1 отложим вектор
Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны. Значит длина искомого отрезка равна длине вектора l.

Ответ 5.

Задание 5.
Найти те значения m и n, при которых прямая пересекает прямые

Решение.
Приведем уравнения (1) и (2) к каноническому виду.

(1)
Найдем параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам.

заданных плоскостей, то за S можно принять векторное произведение векторов N1 и N2.

Таким образом l=6, m=9, n=3 в качестве точки M1(x1,y1,z1) через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения и с любой из координатных плоскостей.
Например, с плоскостью XOZ. Так как при этом y1=0, то координаты x1 и z1 определяются из системы уравнений заданных прямых, если в них положить y = 0.

Решая эту систему находим x1=-1, z1=1.

Прямые будут пересекаться, если


В нашем случае

15m - 12n + 34 * 6 = 0.
(2)





Теперь решим систему






Ответ: m = 48; n = 77.

Задание 6.
Дано, что прямая, пересекающая ось аппликат в точке параллельна плоскости отстоит от неё на расстоянии 7 и перпендикулярна оси координат. Найти абсциссу точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью z = 0.
Решение.
Так как искомая прямая перпендикулярна оси Oу, то она находится в плоскости XOZ, и проходит через точки .
Так как она параллельна плоскости то расстояние между ними, равное 7, это расстояние от какой либо точки прямой до плоскости, которое вычисляется по формуле:

Имеем

Ответ: абсцисса точки пересечения прямой с плоскостью z = 0 21 или -28.

Задание 7.
Записать уравнение касательной к окружности в точке M(1, 2 ).
Решение.


принадлежит окружности. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенного в точку касания. В качестве вектора нормали касательной можно взять вектор CM, где С ( 2; -4)- центр окружности.
СМ = ( -1; 6)
X –6y + c = 0
1 – 12 +c = 0
c = 11
x – 6y + 11 = 0 -искомое уравнение касательной.

Задание 8.
Дана кривая
8.1 Доказать, что эта кривая - эллипс (решение проводится с помощью онлайн-калькулятора).
8.2 Найти координаты центра его симметрии.
8.3 Найти его большую и малую полуоси.
8.4 Записать уравнение фокальной оси.
8.5 Построить данную кривую.
Решение.
8.1

8.2 Центр его симметрии находится в точке ( 1; 3 ).
8.3 Большая полуось а = 5
Малая полуось в = 3
8.4 Уравнение фокальной оси у = 3.
8.5.

Задание 9.
Дана кривая
9.1. Доказать, что данная кривая - парабола.
9.2. Найти координаты её вершины.
9.3. Найти значение её параметра p.
9.4. Записать уравнение её оси симметрии.
9.5. Построить данную параболу.
Решение.
9.1.

- это Уравнение параболы, симметричной относительно оси Oy.
9.2. Вершина параболы (5; 0)
9.3 Сравнивая уравнение параболы с каноническим уравнением параболы находим
2p = -2, откуда p = - 1.
9.4.Ось симметрии х = 5.

Задание 10.
10.Дана кривая
10.1.Доказать, что эта кривая - гипербола.
10.2.Найти координаты её центра симметрии.
10.3.Найти действительную и мнимую полуоси.
10.4.Записать общее уравнение фокальной оси.
10.5.Построить данную гиперболу.
Решение.
10.1.




10.2. Координаты её центра симметрии
10.3.Число 4 – действительная полуось.
Число 2 – мнимая полуось.