Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Графиком функции 2-х переменных z = f(x,y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f(x,y), где f(x,y) – дифференцируемая функция, и пусть M0(x0,y0,z0) – фиксированная точка на поверхности σ, т.е. z0 = f(x0,y0). Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Решение оформляется в формате Word. Если необходимо найти уравнение касательной к кривой (y = f(x)), то необходимо использовать данный сервис.
Функция задана в явном виде
z = f(x,y)
в точке M0(;)

Функция задана в неявном виде f(x,y,z)

F(x,y,z) =
в точке M(;;)

Дополнительно находить уравнение нормали

Правила ввода функций:
Правила ввода функций:

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:

z – z0 = f’x(x0,y0)(x – x0) + f’y(x0,y0)(y – y0)

Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности σ в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0), где z0 = f(x0,y0), имеют вид:
Уравнение нормали к поверхности

Пример №1. Поверхность задана уравнением x3+5y. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z - z0 = f'x(x0,y0,z0)(x - x0) + f'y(x0,y0,z0)(y - y0)
По условию задачи x0 = 0, y0 = 1, тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y:
f'x(x,y) = (x3+5•y)'x = 3•x2
f'x(x,y) = (x3+5•y)'y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f'x(0;1) = 0
f'y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5•y+z = 0

Пример №2. Поверхность задана неявным образом y2-1/2*x3-8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f'x(1;0;1) = -3/16
f'y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z - 1 = -3/16(x - 1) + 0(y - 0) или 3/16•x+z-19/16 = 0

Пример. Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x3:
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x3)’x = – y/x2 + y – 15x2;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x3)’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:

z= y/x + xy – 5x3
z0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.
В точке М0(–1, 2, 1) значения частных производных:
fx’(М0) = –1/(-1)2 + 2 – 15(–1)2 = –15; fy’(М0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y +4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М0: .
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: .

Пример №1. Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z - z0 = f'x(x0,y0,z0)(x - x0) + f'y(x0,y0,z0)(y - y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f'x(x,y) = (x2+3•x•y•+y2)'x = 2•x+3•y3
f'x(x,y) = (x2+3•x•y•+y2)'y = 9•x•y2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f'x(1;2) = 26
f'y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x2 + y2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение