Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Пример решения дифференциального уравнения

Пример №1. Найти частное решение дифференциального уравнения y″+py' +qy = f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0, y'(x0) = y'0.
y″ -6y' + 9y = x2-x+3

Решение находим с помощью сервиса линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -6 r + 9 = 0
D = (-6)2 - 4·1·9 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 3 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e3x, y2 = xe3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y = C1·e3x+C2·x·e3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 4/3, y'(0) = 1/27
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 4/3
Находим первую производную:
y' = 3·c1·e3·x+3·c2·x·e3·x+c2·e3·x
Поскольку y'(0) = 3·c1+c2, то получаем второе уравнение:
3·c1+c2 = 1/27
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 4/3
3·c1+c2 = 1/27
т.е.:
c1 = 4/3, c2 = -107/27
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = x2-x+3
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x2-x+3, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида: y*=A·x2+B·x+C
Вычисляем производные:
y' = 2·A·x+B
y″ = 2·A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ -6y' + 9y = (2·A) -6(2·A·x+B) + 9(Ax2 + Bx + C) = x2-x+3
или
9·A·x2-12·A·x+2·A+9·B·x-6·B+9·C = x2-x+3
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
9A = 1
-12A + 9B = -1
2A -6B + 9C = 3
Решая ее, находим:
A = 1/9;B = 1/27;C = 1/3;
Частное решение имеет вид:
y* = 1/9x2 + 1/27x + 1/3
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример №2. y″ +4y' - 5y = 2·ex

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +4 r - 5 = 0
D = 42 - 4·1·(-5) = 36


Корни характеристического уравнения:
r1 = 1
r2 = -5
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = ex
y2 = e-5x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y = C1·e3x+C2·e-5x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = -1
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную:
y' = c1·ex-5·c2·e-5·x
Поскольку y'(0) = c1-5·c2, то получаем второе уравнение:
c1-5·c2 = -1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
c1-5·c2 = -1
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c1 = 2/3, c2 = 1/3
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 2·ex
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 2, Q(x) = 0, α = 1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 1 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида: y*=A·x2+B·x+C
Вычисляем производные: y' = A·ex(x+1)
y″ = A·ex(x+2)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + 4y' -5y = (A·ex(x+2)) + 4(A·ex(x+1)) -5(x (Aex)) = 2·ex
или
6·A·ex = 2·ex
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
6A = 2
Решая ее, находим:
A = 1/3;
Частное решение имеет вид:
y* = x (1/3ex)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример №3. y″ - 4y' + 4y = 2sin(2x), y(0) = 0. y'(0) = -1

Решение:
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -4 r + 4 = 0
D = (-4)2 - 4·1·4 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e2x
y2 = xe2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y = C1·e2x+C2·x·e2x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 0, y'(0) = -1
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 0
Находим первую производную:
y' = 2·c1·e2·x+2·c2·x·e2·x+c2·e2·x
Поскольку y'(0) = 2·c1+c2, то получаем второе уравнение:
2·c1+c2 = -1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 0
2·c1+c2 = -1
т.е.:
c1 = 0, c2 = -1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
y =-x·e2x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 2·sin(2·x)
Поиск частного решения.
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 2, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y' = 2·B·cos(2x)-2·A·sin(2x)
y″ = -4(A·cos(2x)+B·sin(2x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ -4y' + 4y = (-4(A·cos(2x)+B·sin(2x))) -4(2·B·cos(2x)-2·A·sin(2x)) + 4(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 2·sin(2·x)
или
8·A·sin(2x)-8·B·cos(2x) = 2·sin(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
8A = 2
0A -8B = 0
Решая ее, находим:
A = 1/4;B = 0;
Частное решение имеет вид:
y* = 1/4cos(2x) + 0sin(2x)
или
y* = 1/4cos(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример №4. Найти частное решение, общее решение и решение задачи Коши уравнения: y″ - 6y' + 9y = 9x2 +6x + 2, y(1) = 1, y'(1) = -1

Решение:
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -6 r + 9 = 0
D = (-6)2 - 4·1·9 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 3 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e3x
y2 = xe3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(1) = 1, y'(1) = -1
Поскольку y(1) = c1·e3+c2·e3, то получаем первое уравнение:
c1·e3+c2·e3 = 1
Находим первую производную:
y' = 3·c1·e3·x+3·c2·x·e3·x+c2·e3·x
Поскольку y'(1) = 3·c1·e3+4·c2·e3, то получаем второе уравнение:
3·c1·e3+4·c2·e3 = -1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1·e3+c2·e3 = 1
3·c1·e3+4·c2·e3 = -1
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c1 = 5/e3, c2 = -4/e3
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 9·x2+6·x+2
Поиск частного решения.
Здесь P(x) = 9·x2+6·x+2, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида: y*=A·x2+B·x+C
Вычисляем производные:
y' = 2·A·x+B
y″ = 2·A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ -6y' + 9y = (2·A) -6(2·A·x+B) + 9(Ax2 + Bx + C) = 9·x2+6·x+2
или
9·A·x2-12·A·x+2·A+9·B·x-6·B+9·C = 9·x2+6·x+2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
9A = 9
-12A + 9B = 6
2A -6B + 9C = 2
Решая ее, находим:
A = 1;B = 2;C = 4/3;
Частное решение имеет вид:
y* = x2 + 2x + 4/3
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Перейти к онлайн решению своей задачи