Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Подробный пример нахождения экстремума функции двух переменных

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №1. Исследовать на экстремум функции двух переменных.
z = (x-2)2 + 3y2

Решение находим с помощью калькулятора.
z = (x-2)^2+3*y^2
1. Найдем частные производные.


2. Решим систему уравнений.
2·x-4 = 0
6·y = 0
Из первого уравнения выражаем x:
x = 2
6·y = 0
Откуда y = 0
Количество критических точек равно 1: M1(2;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.



4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(2;0)



Поскольку AC - B2 = 12 > 0 и A > 0 , то в точке M1(2;0) имеется минимум z(2;0) = 0
Вывод: В точке M1(2;0) имеется минимум z(2;0) = 0;

Пример №2. Исследовать на экстремум функцию z=x3+3xy2-15x-12y
Решение.
1) Найдем частные производные:
dz/dx=3x2+3y2-15
dz/dy=6xy-12
2) тогда система для отыскания стационарных точек имеет вид
.
Решив систему, получим четыре стационарные точки:
P1(1,2), P2(2,1), P3(-1,-2), P4(-2,-1). Найдем производные 2-го порядка

и составим дискриминант ∆AB-C2 для каждой стационарной точки.
1) Для точки P1(1,2) Δ=36-144<0, в P1(1,2) экстремума нет.
2) Для точки P2(2,1), Δ =144 – 36 >0, A>0, в P2(2,1)функция имеет минимум, zmin = -28
3) Для точки P3(-1,-2), Δ = 36-144 <0, в P3(-1,-2) экстремума нет.
4) Для точки P4(-2,-1), Δ=144 – 36 >0, A<0 в P4(-2,-1) функция имеет максимум zmax=28

Пример №3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 4xy – y2 – 6x – 2y в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 2x + 3y – 6 = 0.
Решение.
Найдем критические точки локального экстремума внутри указанной области и значения данной функции z = f(x,y) в этих точках. Так как ,, то система для отыскания критических точек имеет вид
.
Точка P0(1;1) находится внутри области, причем z(P0) = -4. Исследуем функцию z на границе области. На отрезке ОА имеем : y=0, z = f(x;0) или g1(x)=x2 – 6x, где x∈[0;3]; g’1=2x-6; g’1(3)=0; g1(3)=f(3;0)=-9. На отрезке ОВ имеем: x=0. z=f(0;y) или z=g2(y)=-y2-2y, где y∈[0;2], g′2(y)=-2y-2, g′2(-1)=0, -1 ∉ [0;2]. На отрезке АВ имеем или
где x∈[0;3]; ; ,
.
Найдем значения функции z в точках О, А и В. z(0) = f(0,0) = 0; z(A) = f(3;0) = -9, z(B) = f(0;2) = -8.
Сравнивая значения f(0;0), f(0;2), f(3;0), f(27/19;20/19), f(1;1), приходим к выводу:
наибольшее значение zmax=0 в т. O(0,0);
наименьшее значение zmin=-9 в т. A(3,0).

Задание №1. Исследовать на экстремум функцию двух переменных.
z = x2y2(1-x-y)

Решение.
1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.
-x2·y2+2·x·y2(-x-y+1) = 0
-x2·y2+2·x2·y(-x-y+1) = 0

Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x1 = 0
x2 = -2/3·y+2/3
-y2(-2/3·y+2/3)2+2·y(-2/3·y+2/3)2(-1/3·y+1/3) = 0
Откуда, M1(2/3;0), M2(2/5;2/5), M3(0;1)
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение: y = 0

y = -2/3·x+2/3
-x2(-2/3·x+2/3)2+2·x(-2/3·x+2/3)2(-1/3·x+1/3) = 0
Откуда, M4(0;2/3), M5(1;0)
Количество критических точек равно 5.
M1(2/3;0), M2(2/5;2/5), M3(0;1), M4(0;2/3), M5(1;0)

3. Найдем частные производные второго порядка.


4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(2/3;0)



AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M2(2/5;2/5)



AC - B2 = 64/3125 > 0 и A < 0 , то в точке M2(2/5;2/5) имеется максимум z(2/5;2/5) = 16/3125
Вычисляем значения для точки M3(0;1)



AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M4(0;2/3)



AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M5(1;0)



AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вывод: В точке M2(2/5;2/5) имеется максимум z(2/5;2/5) = 16/3125;

Задание №2. Исследовать на экстремум z=3x+9y-x2-xy-y2-4.

Скачать решение