Как найти градиент
Пример №1. Даны функция u = f(x,y,z); точка A(x0;y0) и вектор a(a1;a2).Найти:
а) grad u в точке А.
б) Производную в точке А по направлению вектора а
u = x2 + 2xy + y2 + z2
A(1;1;1)
a(2;-1;0)
Решение находим с помощью калькулятора.
Градиент grad u
grad u в точке А
grad u(A) = (2·1+2·1)i + (2·1+2·1)j + 2·1·k = 4i+4j+2k
Модуль grad u
Вектор а(2;-1;0)
Направляющие углы
Модуль вектора |a|.
Производная в точке А по направлению вектора а.
Пример №2. Найти grad u в точке М(0,0,0), если u=х*sin(z)-y*cos(z).
Найти производную функции u=х*y2+z3-x*y*z в точке М(1,1,2) в направлении, образующем с осями координат углы соответственно в 60о, 45о, 60о.
Пример №3. Даны функция z = f(x,y), точка A и вектор a. Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке A; 2) скорость изменения функции в точке A по направлению вектора a.
z = ln(x2 + 3y2), A(1,1), a(3,2).
Примечание: наибольшая скорость возрастания функции в указанной точке равна модулю градиента функции в этой точке.
Скачать решение
Задача 1. Найти проекции grad z в точке М(1,2), где z=ln(4x2-y).
Задача 2. Найти производную функции z=х3-3x2y +3xy2+1 в точке М(3,1) в направлении, идущем от этой точки к точке N(6,5).
Задача 3. Даны функция z = f(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a(a1,a2). Найти:
1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению вектора a.
Решение.
z = ln(5x2+3y2), A(1;1), a(3;2)
Скачать решение
