Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида
. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство Rn и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит Rn в себя, то есть A:Rn → Rn.
Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A·x = λ·x. Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x.
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов x1, x2, ..., xm оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы x1, x2, ..., xm оператора A с попарно различными собственными числами λ1, λ2, …, λm
линейно независимы.
3. Если собственные числа λ1=λ2= λm= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.
Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x1, x2, ..., xn, соответствующих различным собственным числам λ1, λ2, …, λn, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства Rn. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: 
тогда 
.
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе {εi} (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.
Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов
Пусть дан вектор x=(x1, x2, …, xn), где x1, x2, …, xn - координаты вектора x относительно базиса {ε1, ε2, ..., εn} и x - собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу λ, то есть A·x=λ·x. Это соотношение можно записать в матричной формеЕсли уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:
(1)
где
- матрица линейного оператора.
Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю
Получили уравнение для нахождения собственных чисел.
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.
Пусть λ1, λ2, …, λn - вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.
Пример №1. Линейный оператор A действует в R3 по закону A·x=(x1-3x2+4x3, 4x1-7x2+8x3, 6x1-7x2+7x3), где x1, x2, .., xn - координаты вектора x в базисе e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
A·e1=(1,4,6)
A·e2=(-3,-7,-7)
A·e3=(4,8,7)
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1-λ)x1-3x2+4x3=0
x1-(7+λ)x2+8x3=0
x1-7x2+(7-λ)x3=0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
Подставляя λ = -1 в систему, имеем:
или 
Так как
, то зависимых переменных два, а свободное одно.
Пусть x1 - свободное неизвестное, тогда
Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: 
Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: (x1, 2x1, x1)=x1(1,2,1), где x1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x1 = 1: x1=(1,2,1).
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: x2=(1,2,2).
В пространстве R3 базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R3 составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.
Пример №2. Дана матрица 
.
1. Доказать, что вектор x=(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.
Решение находим с помощью калькулятора.
1. Если A·x=λ·x, то x - собственный вектор
Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.
Собственные векторы ищем из системы:
(2-λ)x1+3x3=0;
10x1-(3+λ)x2-6x3=0;
-x1-(2+λ)x3=0;
Характеристическое уравнение:
;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ2 - 1) = 0
λ1 = -3, λ2 = 1, λ3 = -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:
5x1+3x3=0;
10x1-6x3=0;
-x1+x3=0;
Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x1 = x3 = 0. x2 здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x2 = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:
Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.
Пусть x3 - свободное неизвестное. Тогда x1 = -3x3, 4x2 = 10x1 - 6x3 = -30x3 - 6x3, x2 = -9x3.
Полагая x3 = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:
.
Не всякую матрицу линейного оператора A:Rn→ Rn можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.
Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой aik=aki.
Замечания.
- Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
- Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.