Метод простой итерации для систем линейных уравнений

Метод простой итерации даёт возможность получить последовательность приближённых значений, сходящуюся к точному решению системы.
Преобразуем систему (3.1) к нормальному виду:
. (3.2)
Правая часть системы (3.2) определяет отображение:
, преобразующее точку -мерного метрического пространства в точку того же пространства.
Выбрав начальную точку , можно построить итерационную последовательность точек п - мерного пространства:
При определённых условиях данная последовательность сходится.
Так, для исследования сходимости таких последовательностей используется принцип сжимающих отображений, который состоит в следующем.
Если F– сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве с метрикой , то существует единственная неподвижная точка , такая, что . При этом итерационная последовательность, , полученная с помощью отображения F с любым начальным членом х(0), сходится к .
Оценка расстояния между неподвижной точкой отображения Fи приближением х(к) даётся формулами:
(3.3)
где α – множитель, определяемый достаточными условиями сжимаемости отображения F.
Значение множителя α, определяется выбором метрики, в которой проверяется сходимость последовательности значений .
Рассмотрим Достаточные условия сходимости итерационной последовательности .
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно "погрузить" в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой : , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой : , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой : , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы
Пример 3.1. Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать .

Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:

Последовательные приближения будем искать по формулам:

Получаем:
, .
Для оценки погрешности в метрике вычисляем коэффициент μ
.
Вычисляем погрешность:
Открыть диалог Discus Помощь в решении контрольных