Дифференциальное исчисление

Механический смысл производной.Скорость есть первая производная пути по времени, т.е. v=S'(t).
Геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x) равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е. tg α=f'(x).
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀:
y=f(x)+f′(x0)(x-x0)
Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке x₀:

Таблица производных

Правила дифференцирования

1. (C)′=0 2. (x)′=1 3. (xn)′=n·xn-1 4. 5. 6. (ex)′=ex 7. (ax)′=ax·ln(a) 8. (cos x)′= -sin x 9. (sin x)′= cos x 10.

11. 12. 13. 14. 15. 16.

Определение 2. Дифференциалом функции y=y(x) называется линейная относительно Δ часть приращения функции. Дифференциал функции находится как произведение производной функции на дифференциал независимой переменной:
dy=y′(x)·dx

Дифференцирование сложной функции
Пусть y=y(u), где u=u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем
y′_x=y′_u·u′_x, или

Производные высших порядков

Определение 4. Производная n-ого порядка (n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: y⁽ⁿ⁾=[f^(n-1)(x)]′.

Пример 9: Найти производную функции
Решение:
+

Пример 10: Найти производную функции y=x²·ln(x)
Решение:
Применим правило дифференцирования (u·v)′ = u′v+uv′

Пример 11: Найти производную функции
Решение:
Применим правило дифференцирования

Пример 12: Найти дифференциал функции y=3x²+5
Решение: По определению дифференциал dy=f′·dx
Так как y′=(3x²+5)′=6x, то dy=6x·dx.
Ответ: Дифференциал функции равен dy=6x·dx.

Пример 13: Найти производную сложной функции y=(tg 5x)
Решение:

Пример 14: Найти производную функции сложной функции
Решение:

=
+

Пример 15: Найти производную второго порядка для функции.
Решение:

Пример 16: Найти производную второго порядка функции y=e^x3 в точке x=1.
Решение: y′=(e^x3)′=e^x3·(x³)′=e^x3·3x²
y″=(3x²·e^x3)′ = (3x²)′·e^x3+3x²·(e^x3)′ = e^x3·(6x+9x⁴) = 3x·e^x3(2+3x³)
Найдем y″ при x=1.
y″(1)=3·1·e¹·(2+3·1) = 3e·5 = 15e
Ответ: y″(1)=15e

Исследование функций с помощью производной

Определение 2. Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
Определение 3: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке (a,b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка (рис.1).

Определение 4: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке (a,b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка (рис.2).
Рис.1 Рис. 2

Определение 5. Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба (рис.3).

Рис. 3

Правило нахождения точек перегиба графика функции y=f(x)
a. Найти вторую производную f″.
b. Найти точки, в которых вторая производная f″ обращается в нуль или терпит разрыв.
c. Исследовать знак второй производной f″ на каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x₀ разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x₀ является абсциссой точки перегиба графика функции.
d. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность или нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.
4. Найти асимптоты функции.
5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
7. По результатам исследования построить график.

Пример 17: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x³-3x².
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x²-6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x²-6x=0.
3x·(x-2)=0
x=0, x=2
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x	(-∞,0)	0	(0,2)	2	(2,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		т. max 0		т. min -4

Пример 18: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=6²-x³.
Решение: Находим f′=12x-3², f″(x)=12-6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение: 12-6x=0, x=2

Пример 19. Провести полное исследование функции y=x³-3x и построить ее график.
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения x∈(-infin;;+∞).
2) Выясним, является ли функция четной или нечетной:
y(-x)=(-x)³-3(-x)=-x³+3x = -(x³-3x) = y(-x)
Отсюда следует, что функция является нечетной, т.е. график симметричен относительно начала координат.
3) Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью ОХ: решим уравнение x³-3x=0
x·(x²-3)=0

Точки пересечения с осью ОХ
- с осью ОY: y(0)=0³-3·0 = 0
Точка пересечения с осью ОY (0;).
4) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y′=3x²-3.
Критические точки: 3x²-3 = 0, x²=1, x=±1.

x	(-∞, -1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
y′	+	0	-	0	+
y		т. max 2		т. min -2