Аппроксимация нелинейной зависимостью

Необходимо:
  • свести исходную зависимость y = f (x) к линейной;
  • методом наименьших квадратов найти параметры полученной линейной зависимости для заданных опытных данных {xi, yi}, i= 1, 2, 3;
  • вычислить коэффициенты с и dисходной зависимости;
  • вычислить сумму квадратов отклонений исходной зависимости от опытных данных.
Аппроксимация нелинейной зависимостью x 3 4 5
y 0.15 0.1 0.0833

Решение.
1. Сведем исходную зависимость y = f (x) к линейной. Для этого используем метод линеаризации - замену переменных.
Уравнение представим как . После замены переменных Y = x/y; X = x, получим: cX-d = Y

2. Методом наименьших квадратов найдем параметры полученной линейной
зависимости для заданных опытных данных {xi ,yi }, i= 1, 2, 3;
Система уравнений МНК:
dn + c∑x = ∑y
d∑x + c∑x2 = ∑y • x

x y x2 y2 x y
3 20 9 400 60
4 40 16 1600 160
5 60.02 25 3602.88 300.12
12 120.02 50 5602.88 520.12

Для наших данных система уравнений имеет вид:
3d + 12c = 120.02
12d + 50c = 520.12
Из первого уравнения выражаем d и подставим во второе уравнение
Получаем d = -40.04, c = 20.012
Уравнение линейной зависимости:
y = 20.012 x - 40.04

3. Коэффициенты с и dисходной зависимости: d = 40.04, c = 20.012

4. Вычислим сумму квадратов отклонений исходной зависимости от опытных данных.

x y (y-yx)2
3 0,15 0,15003 9,0036E-10
4 0,1 0,09998 3,9984E-10
5 0,0833 0,083306 3,0967E-11

Итого
1,3312E-09
Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск Поддержать проект