Аппроксимация нелинейной зависимостью
Необходимо:- свести исходную зависимость y = f (x) к линейной;
- методом наименьших квадратов найти параметры полученной линейной зависимости для заданных опытных данных {xi, yi}, i= 1, 2, 3;
- вычислить коэффициенты с и dисходной зависимости;
- вычислить сумму квадратов отклонений исходной зависимости от опытных данных.
| x | 3 | 4 | 5 |
| y | 0.15 | 0.1 | 0.0833 |
Решение.
1. Сведем исходную зависимость y = f (x) к линейной. Для этого используем метод линеаризации - замену переменных.
Уравнение представим как 
. После замены переменных Y = x/y; X = x, получим: cX-d = Y
2. Методом наименьших квадратов найдем параметры полученной линейной
зависимости для заданных опытных данных {xi ,yi }, i= 1, 2, 3;
Система уравнений МНК:
dn + c∑x = ∑y
d∑x + c∑x2 = ∑y • x
| x | y | x2 | y2 | x y |
| 3 | 20 | 9 | 400 | 60 |
| 4 | 40 | 16 | 1600 | 160 |
| 5 | 60.02 | 25 | 3602.88 | 300.12 |
| 12 | 120.02 | 50 | 5602.88 | 520.12 |
Для наших данных система уравнений имеет вид:
3d + 12c = 120.02
12d + 50c = 520.12
Из первого уравнения выражаем d и подставим во второе уравнение
Получаем d = -40.04, c = 20.012
Уравнение линейной зависимости:
y = 20.012 x - 40.04
3. Коэффициенты с и dисходной зависимости: d = 40.04, c = 20.012
4. Вычислим сумму квадратов отклонений исходной зависимости от опытных данных.
| x | y |
| (y-yx)2 |
| 3 | 0,15 | 0,15003 | 9,0036E-10 |
| 4 | 0,1 | 0,09998 | 3,9984E-10 |
| 5 | 0,0833 | 0,083306 | 3,0967E-11 |
Итого | 1,3312E-09 | ||
