Аналитическое выравнивание ряда по степенной функции
Степенное уравнение тренда имеет видy = b ta. Для расчетов уравнение с помощью метода логарифмирования приводят к виду ln(y) = ln(b) + a ln(t).
Точечный коэффициент эластичности:
Э(x0) = b. Средний коэффициент эластичности: Э(x) = b.
Пример. 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов с помощью калькулятора Аналитическое выравнивание
.
Система уравнений
Для наших данных система уравнений имеет вид
18а0+36.4а1=62.45
36.4а0+84.52а1=118.6
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение. Получаем a0 = -0.7, a1 = 4.89
Уравнение тренда: y = 132.88t-0.7
Особенности интерпретации коэффициентов степенной функции: с ростом t на 1%, y уменьшается на 0.7%.
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Индекс детерминации
, т.е. в 70.59% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.
| ln(t) | ln(y) | t2 | y2 | t•y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t))2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)) : y |
| 0 | 4.38 | 0 | 19.2 | 0 | 4.89 | 0.83 | 0.26 | 4.09 | 2.22 |
| 0.69 | 4.37 | 0.48 | 19.09 | 3.03 | 4.4 | 0.81 | 0 | 1.77 | 0.15 |
| 1.1 | 4.32 | 1.21 | 18.64 | 4.74 | 4.12 | 0.72 | 0.04 | 0.85 | 0.86 |
| 1.39 | 4.25 | 1.92 | 18.05 | 5.89 | 3.92 | 0.61 | 0.11 | 0.4 | 1.41 |
| 1.61 | 4.17 | 2.59 | 17.43 | 6.72 | 3.76 | 0.5 | 0.17 | 0.17 | 1.73 |
| 1.79 | 4.09 | 3.21 | 16.76 | 7.34 | 3.63 | 0.39 | 0.21 | 0.05 | 1.9 |
| 1.95 | 3.66 | 3.79 | 13.42 | 7.13 | 3.52 | 0.04 | 0.02 | 0.01 | 0.51 |
| 2.08 | 3.56 | 4.32 | 12.64 | 7.39 | 3.43 | 0.01 | 0.02 | 0 | 0.45 |
| 2.2 | 3.4 | 4.83 | 11.57 | 7.47 | 3.35 | 0 | 0 | 0.03 | 0.19 |
| 2.3 | 3.22 | 5.3 | 10.36 | 7.41 | 3.27 | 0.06 | 0 | 0.08 | 0.17 |
| 2.4 | 3 | 5.75 | 8.97 | 7.18 | 3.21 | 0.22 | 0.04 | 0.14 | 0.63 |
| 2.48 | 2.3 | 6.17 | 5.3 | 5.72 | 3.14 | 1.36 | 0.71 | 0.21 | 1.94 |
| 2.56 | 2.56 | 6.58 | 6.58 | 6.58 | 3.09 | 0.82 | 0.27 | 0.29 | 1.34 |
| 2.64 | 2.94 | 6.96 | 8.67 | 7.77 | 3.04 | 0.28 | 0.01 | 0.38 | 0.27 |
| 2.71 | 3.37 | 7.33 | 11.34 | 9.12 | 2.99 | 0.01 | 0.14 | 0.47 | 1.28 |
| 2.77 | 2.64 | 7.69 | 6.96 | 7.32 | 2.94 | 0.69 | 0.09 | 0.56 | 0.8 |
| 2.83 | 3 | 8.03 | 8.97 | 8.49 | 2.9 | 0.22 | 0.01 | 0.66 | 0.29 |
| 2.89 | 3.22 | 8.35 | 10.36 | 9.3 | 2.86 | 0.06 | 0.13 | 0.75 | 1.16 |
| 36.4 | 62.45 | 84.52 | 224.33 | 118.6 | 62.45 | 7.63 | 2.25 | 10.93 | 17.29 |
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
S a = 0.1099
Доверительные интервалы для зависимой переменной
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 2
132.88 2-0.7 - 1.746*0.65 ; 132.88 2-0.7 + 1.746*0.65
(81.02;82.32)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
где L - период упреждения; уn+ L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 132.88*19-0.7 = 16.81
K1 = 1.3
16.81 - 1.3 = 15.51 ; 16.81 + 1.3 = 18.11
Интервальный прогноз:
t = 19: (15.51;18.11)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается
Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими (tтабл=1.746):
(a - tтабл·Sa; a + tтабл·Sa)
(-0.8941;-0.5102)
(b - tтабл·Sb; b + tтабл·Sb)
(132.4613;133.2931)
2) F-статистика. Критерий Фишера.
Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.
| y | y(x) | ei = y-y(x) | e2 | (ei - ei-1)2 |
| 4.38 | 4.89 | -0.51 | 0.26 | 0 |
| 4.37 | 4.4 | -0.03 | 0 | 0.22 |
| 4.32 | 4.12 | 0.2 | 0.04 | 0.05 |
| 4.25 | 3.92 | 0.33 | 0.11 | 0.02 |
| 4.17 | 3.76 | 0.42 | 0.17 | 0.01 |
| 4.09 | 3.63 | 0.46 | 0.21 | 0 |
| 3.66 | 3.52 | 0.14 | 0.02 | 0.1 |
| 3.56 | 3.43 | 0.13 | 0.02 | 0 |
| 3.4 | 3.35 | 0.05 | 0 | 0.01 |
| 3.22 | 3.27 | -0.05 | 0 | 0.01 |
| 3 | 3.21 | -0.21 | 0.04 | 0.02 |
| 2.3 | 3.14 | -0.84 | 0.71 | 0.4 |
| 2.56 | 3.09 | -0.52 | 0.27 | 0.1 |
| 2.94 | 3.04 | -0.09 | 0.01 | 0.19 |
| 3.37 | 2.99 | 0.38 | 0.14 | 0.22 |
| 2.64 | 2.94 | -0.3 | 0.09 | 0.47 |
| 3 | 2.9 | 0.1 | 0.01 | 0.16 |
| 3.22 | 2.86 | 0.36 | 0.13 | 0.07 |
| 2.25 | 2.06 |
Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
