Примеры решений на тему "Аналитическая геометрия"

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задание. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

  1. Записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов.
  2. Найти угол между векторами.
  3. Найти проекцию вектора на вектор.
  4. Найти площадь грани ABC.
  5. Найти объем пирамиды ABCD.
Решение
A1(1,8,2), A2(5,2,6), A3(0,-1,-2), A4(-2,3,-1):Пример №1
A1(1,8,2), A2(5,2,6), A3(0,-1,-2), A4(-2,3,-1):Пример №2
A1(5,2,1), A2(-3,9,3), A3(-1,3,5), A4(-1,-5,2):Пример №3
A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №4

Задание. Найти острый угол между прямыми x + y -5 = 0 и x + 4y - 8 = 0.
Рекомендации к решению. Задача решается посредством сервиса Угол между двумя прямыми.
Ответ: 30.96o

Пример №1. Даны координаты точек А1(1;0;2), A2(2;1;1), А3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3. Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4.

Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Так, для вектора A1A2 они будут следующими:
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A1A2(1;1;-1)
A1A3(-2;2;-2)
A1A4(-3;-1;-3)
A2A3(-3;1;-1)
A2A4(-4;-2;-2)
A3A4(-1;-3;-1)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:



Площадь грани находим по формуле:

где
Найдем площадь грани A1A2A3
Для этого найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3:


Тогда площадь грани A1A2A3 будет равна:

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:


где определитель матрицы равен: ∆ = 1 • (2 • (-3)-(-1) • (-2))-(-2) • (1 • (-3)-(-1) • (-1))+(-3) • (1 • (-2)-2 • (-1)) = -16
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2 находим как:

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Находим уравнение плоскости A1A2A3

(x-1)(1 • (-2)-2 • (-1)) - (y-0)(1 • (-2)-(-2) • (-1)) + (z-2)(1 • 2-(-2) • 1) = 4y + 4z-8 = 0
или y + z - 2 = 0
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

т.е. уравнение высоты равно:

A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №5
A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №6
A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №7
A1(1,8,02), A2(5,2,6), A3(5,7,4), A4(4,10,9):Пример №8
A1(10,5,5), A2(8,6,4), A3(8,10,7), A4(5,6,8):Пример №9

Задание. По координатам вершин пирамиды А1,А2,А3,А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3;4) объем пирамиды А1А2А3А4
A1(3;5;4,0,0), A2(8;7;4,0,0), A3(5;10;4,0,0), A4(4;7;9,0,0):Пример №10
A1(3,5,4), A2(8,7,4), A3(5,10,4), A4(4,7,9):Пример №11
A1(-3,4,0), A2(-3,0,0), A3(3,0,0), A4(0,0,0):Пример №12
A1(0,-1,2), A2(-1,-1,6), A3(-2,0,2), A4(0,1,4):Пример №13
A1(-1,1,2), A2(-2,1,2), A3(-3,2,-2), A4(-1,3,0):Пример №14
A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №15
A1(-1,2,0), A2(-1,2,3), A3(-2,-1,-2), A4(0,-6,5):Пример №16
A1(-1,2,0), A2(-1,2,3), A3(-2,-1,-2), A4(0,-6,5):Пример №17
A1(-1,2,0), A2(-1,2,3), A3(-2,-1,-2), A4(0,-6,5):Пример №18
A1(-1,2,0), A2(-1,2,3), A3(-2,-1,-2), A4(0,-6,5):Пример №19
A1(-1,0,0), A2(0,0,0), A3(0,0,0), A4(0,0,0):Пример №20
A1(0,-1,2), A2(-1,-1,6), A3(-2,0,2), A4(0,1,4):Пример №21
A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6):Пример №22
A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6):Пример №23
A1(3,-1,0), A2(2,3,3), A3(-1,3,1), A4(4,-3,5):Пример №24
A1(0,2,-1), A2(-1,2,3), A3(-2,3,7), A4(0,4,1):Пример №25
A1(0,2,-1), A2(-1,2,3), A3(-2,3,7), A4(0,4,1):Пример №26
A1(0,2,-1), A2(-1,2,3), A3(-2,3,7), A4(0,4,1):Пример №27
A1(0,2,-1), A2(-1,2,3), A3(-2,3,7), A4(0,4,1):Пример №28
A1(-3,2,0), A2(-3,-6,0), A3(-1,2,0), A4(0,0,0):Пример №29
A1(-3,2,0), A2(-3,-6,0), A3(-1,2,0), A4(0,0,0):Пример №30
A1(1,2,1), A2(-1,6,1), A3(-1,3,7), A4(1,6,9):Пример №31
A1(4,2,2), A2(6,6,5), A3(4,7,8), A4(0,0,10):Пример №32
A1(-2,4,0), A2(2,1,0), A3(5,5,0), A4(0,0,0):Пример №33
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3):Пример №34
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3):Пример №35
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3):Пример №36
A1(2,1,0), A2(-2,4,1), A3(-3,-8,4), A4(0,0,0):Пример №37
A1(7,2,4), A2(7,-1,-2), A3(3,3,1), A4(-4,2,1):Пример №38
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3):Пример №39
A1(7,2,4), A2(7,-1,-2), A3(3,3,1), A4(-4,2,1):Пример №40
A1(4,-14,8), A2(2,-18,12), A3(12,-8,12), A4(0,0,0):Пример №
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,4), A4(1,-4,6):Пример №41
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,4), A4(1,-4,6):Пример №42
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,4), A4(1,-4,6):Пример №43
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,4), A4(1,-4,6):Пример №44
A1(1,2,0), A2(3,0,-3), A3(5,2,6), A4(8,4,-9):Пример №45
A1(-3,0,0), A2(0,-2,0), A3(0,0,1), A4(-2,-1,3):Пример №46
A1(-3,0,0), A2(0,-2,0), A3(0,0,1), A4(-2,-1,3):Пример №47
A1(1,-1,2), A2(2,1,1), A3(1,1,4), A4(20,20,20):Пример №48
A1(4,0,2), A2(-4,0,-2), A3(0,4,2), A4(4,2,0):Пример №49
A1(1,0,3), A2(-5,-2,1), A3(2,-4,5), A4(4,7,-5):Пример №50
A1(6,6,5), A2(4,9,5), A3(4,6,11), A4(6,9,3):Пример №51
A1(3,-2,8), A2(-1,3,2), A3(2,0,-1), A4(4,-2,3):Пример №52

Решение 1, Решение 2

Пример. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите длину ребра AB, косинус угла между векторами, уравнение ребра, уравнение грани, уравнение высоты.
Решение

Пример. Даны вершины треугольника А(1, –1, -3), В(2, 0, -10), С(3, 0, -2).
а) Найти уравнение биссектрисы и высоты данного треугольника, проведенных из вершины A.
б) Найти уравнения всех его медиан и координаты точки их пересечения.
см. также Как найти периметр треугольника

Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск Поддержать проект