Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Дискриминант Интегралы онлайн Пределы онлайн
Производная онлайн Ряд Тейлора Решение уравнений
Метод матриц Обратная матрица Умножение матриц

Множество точек на плоскости

Уравнению с переменными x и y соответствует на плоскости некоторая линия как множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Обратно: линия на плоскости, представляющей множество точек, соответствует некоторое уравнение с переменными x и y.
Инструкция. Чтобы составить по условию задачи уравнение множества точек на плоскости, нужно установить зависимость между переменными величинами x и y (координатами произвольной точки, принадлежащей этому множеству точек) и данными в задаче постоянными величинами (параметрами) и записать эту зависимость уравнением.
Задание №1.
Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от точек
A(;) и B(;).

Задание №2.
Составить уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки
A(;) и от прямой = равно λ=.

Пример №1. Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от точек A(1;2) и B(-2;0).
Решение
Пусть точка М принадлежит искомому множеству точек, тогда МА=МВ. Так как


то

После возведения левой и правой частей в квадрат и упрощений получим:
(x-1)2 + (y-2)2 = (x + 2)2 + y2
x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = x2 + 4x + 4 + y2
или
- 6x - 4y + 1 = 0
Ответ: - 6x - 4y + 1 = 0.

Пример №2.
Составить уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки A(1;-2) и от прямой x=1 равно 1/2.
Решение
Из условия следует, что для любой точки M(x;y) искомого множества справедливо соотношение MA:MB = 1/2. Так как:


то

или

Возведя левую и правую части в квадрат и упрощая, получим:
4(x - 1)2 + 4(y + 2)2 = |x - 1|2
т.е.
4(x2 - 2x + 1) + 4(y2 + 4y + 4) = x2 - 2x + 1
или
3x2 + 4y2 - 6x +16y +19 = 0
Ответ: 3x2 + 4y2 - 6x +16y +19 = 0.

Пример №3. Составить уравнение линий, если расстояние каждой ее точки А(2,0) относится к расстоянию до прямой 5x+8=0 как 5:4.
Решение. Выражаем x = -8/5. λ=5/4. Подставляем данные в задание №2.

Пример №4. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой x+6=0 и от начала координат.
Примечание. Здесь x=-6, λ=1.

см. также как построить параболу, гиперболу, эллипс, окружность.