Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Обратная матрица Определитель матрицы Умножение матриц Алгебраические дополнения Скалярное произведение Метод обратной матрицы Матричные уравнения

Как найти координаты вектора в базисе

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Пусть в R3 относительно канонического базисы даны четыре вектора f1 = (1,2,3)f2 = (2,3,7), f3=(1,3,1), x = (2,3,4). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис. Найдите координаты η1, η2, η3 вектора х относительно этого базиса.

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
 <>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1, f2, f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R3.
Находим обратную матрицу А-1.
Транспонированная матрица:

Алгебраические дополнения:
                    
                   
                   
                   
                    
                   
                   
                  
                   
Обратная матрица А-1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.


Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №1. Даны векторы a{1;2;1}, b{2;-2;1}, c{1;-2;0} и d {0;3;1}. Установить, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 - β*2 - γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c:
d = 1/2a + 1/2b - 3/2c

Пример №2. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис.
Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор нельзя разложить по данному базису.
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α,β,γ что имеет место равенство:

Запишем данное равенство в координатной форме:
(-3;5;4)=α(5;1;2) + β(3;4;-1) + γ(-4;2;1)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(-3;5;4) = (5α;α;2α) + (3β;4β;-β) + (-4γ;2γ;γ)
(-3;5;4) = (5α+3β-4γ;α+4β+2γ;2α-β+γ)
По свойству равенства векторов имеем:
Решая полученную систему уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных из уравнений системы), выберем в качестве ведущего уравнения второе уравнение системы:

Выразим из первого уравнения полученной системы α и подставим полученное выражение во второе и третье уравнения системы:


Разделим второе уравнение системы на -1 ,а третье уравнение системы на -3 и выразим из полученного равенства γ :

Подставим полученное выражение для γ в третье уравнение системы:
Тогда:

В итоге получим разложение вектора в базисе :

Ответ:

Пример №3. Даны два линейных преобразования:
х'1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х''1 = b11x'1 + b12x'2 + b13x'3,
х'2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х''2 = b21x'1 + b22x'2 + b23x'3,
х'3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х''3 = b31x'1 + b32x'2 + b33x'3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х''1, x''2, x''3 через х1, х2, х3.
х'1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х''1 = - x'1 + 3x'2 - 2x'3,
х'2 = 6x1 + 7x2 + x3, х''2 = - 4x'1 + x'2 + 2x'3,
х'3 = 9x1 + x2 + 8x3, х''3 = 3x'1 - 4x'2 + 5x'3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 - 1*1) - 6*(3*8 - 1*5) + 9*(3*1 - 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.
Найдем обратную матрицу A-1.
A-1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:
X = A-1·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75/182-146/9119/13
-13/1412/7-1
5/18213/91-12/13
Ответ:
x'1 = 75/182x1 -146/91x2 + 19/13
x'2 = -13/14x1 + 12/7 -x3
x'3 = 5/182x1 + 13/91x2 -12/13x3

Пример №4. В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e1=AB, e2=AC, e3=AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN, где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису (e1, e2, e3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Скачать решение

Скачать

Задание 1. Разложить вектор d=(8;-5) по векторам a=(1;-2) и b=(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = αab, где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

Следовательно, =+.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №2. Разложите вектор v = (36; -6) по базису e1=(-5;3),e2=(-2;-4).
Решение. Даны векторы ε1(-5;3), ε2(-2;-4), X(36;-6). Показать, что векторы образуют базис двухмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

E =
-53
-2-4

∆ = (-5)*(-4) - (-2)*3 = 26
Определитель матрицы равен ∆ =26
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, что имеет место равенство:
X = α1ε1 + α2ε2
Запишем данное равенство в координатной форме:
(36;-6) = α(-5;3) + α(-2;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(36;-6) = (-5α1;3α1;) + (-2α2;-4α2;)
(36;-6) = (-5α1 -2α2;3α1 -4α2)
По свойству равенства векторов имеем:
-5α1 -2α2 = 36
1 -4α2 = -6
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:
X =
-6
-3

X = -6ε1 -3ε2

Разложить вектор d по векторам a,b,c

ЕГЭ по математике
Yandex.Просвещение представляет бесплатные видеокурсы по ЕГЭ с возможностью прохождения тестов
Подробнее
Степенной ряд
Интервал сходимости степенного ряда:
Решение онлайн
График функции
Построение графика функции методом дифференциального исчисленияПостроение графика функции методом дифференциального исчисления
Решить онлайн
Курсовые на заказ