Прогнозирование объема товарооборота на основе тренда

Цель: спрогнозировать объем товарооборота на основе данных таблицы.

Задачи исследования:

  • определить параметры тренда
  • спрогнозировать объем товарооборота
  • оценить погрешность прогноза.

Решение находим с помощью калькулятора.
Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
45a0 + 1035a1 = 4141.61
1035a0 + 31395a1 = 93922.83
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.18, a1 = 96.08
Уравнение тренда
y = -0.18*t + 96.08
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.


Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент эластичности


Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, с изменение периода мало влияет на изменение товарооборота.
Коэффициент детерминации


т.е. в 0.22 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда – низкая. Полученное уравнение тренда не желательно использовать для прогнозирования.

t y t 2 y 2 t•y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t))2 (t-t p) 2 (y-y(t)) : y
1 115 1 13225 115 95.9 527.36 364.69 484 0.17
2 85 4 7225 170 95.73 49.5 115.07 441 0.13
3 69 9 4761 207 95.55 530.65 704.98 400 0.38
4 57 16 3249 228 95.38 1227.51 1472.69 361 0.67
5 184.6 25 34077.16 923 95.2 8568.14 7992.38 324 0.48
6 56 36 3136 336 95.02 1298.58 1522.88 289 0.7
7 85 49 7225 595 94.85 49.5 96.99 256 0.12
8 265 64 70225 2120 94.67 29916.62 29011.44 225 0.64
9 60.65 81 3678.42 545.85 94.5 985.07 1145.6 196 0.56
10 130 100 16900 1300 94.32 1441.28 1272.99 169 0.27
11 46 121 2116 506 94.15 2119.29 2317.96 144 1.05
12 115 144 13225 1380 93.97 527.36 442.29 121 0.18
13 70.96 169 5035.32 922.48 93.79 444.19 521.37 100 0.32
14 39.5 196 1560.25 553 93.62 2760.01 2928.74 81 1.37
15 78.9 225 6225.21 1183.5 93.44 172.55 211.47 64 0.18
16 60 256 3600 960 93.27 1026.29 1106.64 49 0.55
17 100 289 10000 1700 93.09 63.43 47.74 36 0.0691
18 51 324 2601 918 92.91 1683.94 1756.84 25 0.82
19 157 361 24649 2983 92.74 4220.35 4129.49 16 0.41
20 123.5 400 15252.25 2470 92.56 990 957.09 9 0.25
21 55.2 441 3047.04 1159.2 92.39 1356.87 1382.9 4 0.67
22 95.5 484 9120.25 2101 92.21 12 10.81 1 0.0344
23 57.6 529 3317.76 1324.8 92.04 1185.82 1185.82 0 0.6
24 64.5 576 4160.25 1548 91.86 758.22 748.57 1 0.42
25 92 625 8464 2300 91.68 0.0012 0.0997 4 0.0034
26 100 676 10000 2600 91.51 63.43 72.11 9 0.0849
27 81 729 6561 2187 91.33 121.79 106.76 16 0.13
28 65 784 4225 1820 91.16 730.93 684.18 25 0.4
29 110 841 12100 3190 90.98 322.71 361.72 36 0.17
30 42.1 900 1772.41 1263 90.81 2493.58 2372.21 49 1.16
31 135 961 18225 4185 90.63 1845.92 1968.74 64 0.33
32 39.6 1024 1568.16 1267.2 90.45 2749.51 2586.1 81 1.28
33 57 1089 3249 1881 90.28 1227.51 1107.42 100 0.58
34 80 1156 6400 2720 90.1 144.86 102.05 121 0.13
35 61 1225 3721 2135 89.93 963.22 836.73 144 0.47
36 69.6 1296 4844.16 2505.6 89.75 503.36 406.05 169 0.29
37 250 1369 62500 9250 89.57 24952.7 25736.24 196 0.64
38 64.5 1444 4160.25 2451 89.4 758.22 619.96 225 0.39
39 125 1521 15625 4875 89.22 1086.64 1279.98 256 0.29
40 152.3 1600 23195.29 6092 89.05 3631.78 4000.88 289 0.42
41 110 1681 12100 4510 88.87 322.71 446.41 324 0.19
42 40.6 1764 1648.36 1705.2 88.7 2645.64 2313.21 361 1.18
43 95 1849 9025 4085 88.52 8.79 41.99 400 0.0682
44 98 1936 9604 4312 88.34 35.57 93.23 441 0.0985
45 52 2025 2704 2340 88.17 1602.86 1308.16 484 0.7
1035 4141.61 31395 489302.54 93922.83 4141.61 108126.24 107891.71 7590 20.07

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда




S a = 0.5684
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;α/2) = (43;0.025) = 2.009
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 25.
(96.08 -0.18*25 - 2.009*100.61 ; 96.08 -0.18*25 - 2.009*100.61)
(-8.92;192.29)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n-2.

Проверим качество полученного уравнения тренда.


Fkp = 4
Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим. Это еще раз подтверждает, что данное уравнение тренда не желательно использовать для прогноза товарооборота. Необходимо выбрать другую модель: по параболе, экспоненциальную, степенную или другую.

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции
1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения ei с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения ei (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости ei от ei-1
Критерий Дарбина-Уотсона.
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.

y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
115 95.9 19.1 364.69 0
85 95.73 -10.73 115.07 889.48
69 95.55 -26.55 704.98 250.41
57 95.38 -38.38 1472.69 139.81
184.6 95.2 89.4 7992.38 16326.65
56 95.02 -39.02 1522.88 16492.78
85 94.85 -9.85 96.99 851.23
265 94.67 170.33 29011.44 32463.31
60.65 94.5 -33.85 1145.6 41687.11
130 94.32 35.68 1272.99 4833.83
46 94.15 -48.15 2317.96 7026.5
115 93.97 21.03 442.29 4785.29
70.96 93.79 -22.83 521.37 1924.07
39.5 93.62 -54.12 2928.74 978.7
78.9 93.44 -14.54 211.47 1566.24
60 93.27 -33.27 1106.64 350.6
100 93.09 6.91 47.74 1614.09
51 92.91 -41.91 1756.84 2383.8
157 92.74 64.26 4129.49 11273.3
123.5 92.56 30.94 957.09 1110.5
55.2 92.39 -37.19 1382.9 4640.91
95.5 92.21 3.29 10.81 1638.29
57.6 92.04 -34.44 1185.82 1423.12
64.5 91.86 -27.36 748.57 50.07
92 91.68 0.32 0.0997 765.95
100 91.51 8.49 72.11 66.84
81 91.33 -10.33 106.76 354.35
65 91.16 -26.16 684.18 250.41
110 90.98 19.02 361.72 2040.85
42.1 90.81 -48.71 2372.21 4586.57
135 90.63 44.37 1968.74 8663.1
39.6 90.45 -50.85 2586.1 9067.65
57 90.28 -33.28 1107.42 308.91
80 90.1 -10.1 102.05 537.12
61 89.93 -28.93 836.73 354.35
69.6 89.75 -20.15 406.05 77.01
250 89.57 160.43 25736.24 32607.61
64.5 89.4 -24.9 619.96 34345.07
125 89.22 35.78 1279.98 3681.55
152.3 89.05 63.25 4000.88 754.92
110 88.87 21.13 446.41 1774.45
40.6 88.7 -48.1 2313.21 4791.99
95 88.52 6.48 41.99 2978.52
98 88.34 9.66 93.23 10.09
52 88.17 -36.17 1308.16 2099.86
107891.72 264817.26
Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:


Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 45 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 2.45 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует.
Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
По таблице Дарбина-Уотсона для n=45 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.48; d2 = 1.57.
Поскольку 1.48 < 2.45 и 1.57 < 2.45 < 4 - 1.57, то автокорреляция остатков присутствует.
Проверка наличия гетероскедастичности.
1) Методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения ei, либо их квадраты e2i.
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
Присвоим ранги признаку ei и фактору t. Найдем сумму разности квадратов d2.
По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
X ei ранг X, dx ранг ei, dy (dx - dy)2
1 -19.1 1 12 121
2 10.73 2 23 441
3 26.55 3 29 676
4 38.38 4 38 1156
5 -89.4 5 3 4
6 39.02 6 39 1089
7 9.85 7 20 169
8 -170.33 8 1 49
9 33.85 9 34 625
10 -35.68 10 8 4
11 48.15 11 42 961
12 -21.03 12 11 1
13 22.83 13 26 169
14 54.12 14 45 961
15 14.54 15 24 81
16 33.27 16 32 256
17 -6.91 17 16 1
18 41.91 18 40 484
19 -64.26 19 4 225
20 -30.94 20 9 121
21 37.19 21 37 256
22 -3.29 22 18 16
23 34.44 23 35 144
24 27.36 24 30 36
25 -0.32 25 19 36
26 -8.49 26 15 121
27 10.33 27 22 25
28 26.16 28 28 0
29 -19.02 29 13 256
30 48.71 30 43 169
31 -44.37 31 6 625
32 50.85 32 44 144
33 33.28 33 33 0
34 10.1 34 21 169
35 28.93 35 31 16
36 20.15 36 25 121
37 -160.43 37 2 1225
38 24.9 38 27 121
39 -35.78 39 7 1024
40 -63.25 40 5 1225
41 -21.13 41 10 961
42 48.1 42 41 1
43 -6.48 43 17 676
44 -9.66 44 14 900
45 36.17 45 36 81
15942


Связь между признаком Y фактором X слабая и обратная
Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

По таблице Стьюдента находим tтабл:
tтабл (n-m-1;α/2) = (43;0.05/2) = 2.009
Поскольку Tнабл < tтабл , то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.

Поскольку 2.009 > 0.33, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск Поддержать проект