Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (xo = 0).
y'' + 6y' + 13y = 8e-x, yo = 2/3, y'o = 2.
Решение находим с помощью калькулятора. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение:
r2 +6 r + 13 = 0
D = 62 - 4 • 1 • 13 = -16


Корни характеристического уравнения:
r1 = -3 + 2i
r1 = -3 - 2i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(0) = 2/3, y'(0) = 2
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 2/3
Находим первую производную:
y' = -3•c2•e-3•x•sin(2•x)-2•c1•e-3•x•sin(2•x)-3•c1•cos(2•x)•e-3•x+2•c2•cos(2•x)•e-3•x
Поскольку y'(0) = -3•c1+2•c2, то получаем второе уравнение:
-3•c1+2•c2 = 2
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 2/3
-3•c1+2•c2 = 2
т.е.:
c1 = 2/3, c2 = 2
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 8•e-x
Поиск частного решения. Уравнение имеет частное решение вида: y* = Ae-x. Вычисляем производные онлайн:
Первая производная: y' = -A•e-x
Вторая производная: y'' = A•e-x
Найденные производные подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y'' + 6y' + 13y = (A•e-x) + 6(-A•e-x) + 13(Ae-x) = 8•e-x
или 8•A•e-x = 8•e-x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 8A = 8
Откуда, A = 1
Частное решение имеет вид: y* = e-x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'i составляем систему уравнений:

C'1(-2•e-3x•sin(2x)-3•cos(2x)•e-3x) + C'2(-3•e-3x•sin(2x)+2•cos(2x)•e-3x) = 8*exp(-x)
Выразим C'1 из первого уравнения:
C'1 = -c2•sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'1 = -4•e2x•sin(2x)
C'2 = 4•cos(2x)•e2x
Интегрируем полученные функции C'i:
C1 = -e2x•sin(2x)+cos(2x)•e2x + C*1
C2 = e2x•sin(2x)+cos(2x)•e2x + C*2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = (-e2x•sin(2x)+cos(2x)•e2x)•cos(2x)•e-3x + C*1e-3x•cos(2x)
C2 = (e2x•sin(2x)+cos(2x)•e2x)•e-3x•sin(2x) + C*2e-3x•sin(2x)
или
C1 = -cos(2x)•e-x•sin(2x)+cos2(2x)•e-x + C*1e-3x•cos(2x)
C2 = cos(2x)•e-x•sin(2x)+sin2(2x)•e-x + C*2e-3x•sin(2x)
y = C1 + C2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Скачать пример решения Скачать

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример. y'' + 5y' + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 52 - 4 • 1 • 6 = 1


Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-2x, y2 = e-3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную:
y' = -3•c2•e-3•x-2•c1•e-2•x
Поскольку y'(0) = -3•c2-2•c2, то получаем второе уравнение:
-3•c2-2•c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
-3•c2-2•c2 = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c1 = 6, c2 = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 12•cos(2•x)
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y' = -2•A•sin(2x)+2•B•cos(2x)
y'' = -4•A•cos(2x)-4•B•sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y'' + 5y' + 6y = (-4•A•cos(2x)-4•B•sin(2x)) + 5(-2•A•sin(2x)+2•B•cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12•cos(2•x) или -10•A•sin(2x)+2•A•cos(2x)+2•B•sin(2x)+10•B•cos(2x) = 12•cos(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3/13;B = 15/13;
Частное решение имеет вид:
y* = 3/13cos(2x) + 15/13sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

см. также диф уравнения онлайн

Пример 2. y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 + 1 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i,  r2 = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e0xcos(x) = cos(x)
y2 = e0xsin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Общее решение однородного уравнения

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).

Уравнение имеет частное решение вида:
y* = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y' = sin(x)(B-A•x)+cos(x)(A+B•x)
y'' = cos(x)(2•B-A•x)-sin(x)(2•A+B•x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + y =  (cos(x)(2•B-A•x)-sin(x)(2•A+B•x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2•B•cos(x)-2•A•sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B  = 1
-2A  = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1/2;
Частное решение имеет вид: y* = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: общее решение дифференциального уравнения

Скачать пример решения

см. также решение диф уравнения в онлайн.