Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'_i составляем систему уравнений:
C'₁·e^-3x·cos(2x)+C'₂·e^-3x·sin(2x)=0
C'₁(-2·e^-3x·sin(2x)-3·cos(2x)·e^-3x) + C'₂(-3·e^-3x·sin(2x)+2·cos(2x)·e^-3x) = 8*exp(-x)
Выразим C'₁ из первого уравнения:
C'₁ = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'₁ = -4·e^2x·sin(2x)
C'₂ = 4·cos(2x)·e^2x
Интегрируем полученные функции C'_i:
C₁ = -e^2x·sin(2x)+cos(2x)·e^2x + C^*₁
C₂ = e^2x·sin(2x)+cos(2x)·e^2x + C^*₂
Записываем полученные выражения в виде:
C₁ = (-e^2x·sin(2x)+cos(2x)·e^2x)·cos(2x)·e^-3x + C^*₁e^-3x·cos(2x)
C₂ = (e^2x·sin(2x)+cos(2x)·e^2x)·e^-3x·sin(2x) + C^*₂e^-3x·sin(2x)
или
C₁ = -cos(2x)·e^-x·sin(2x)+cos²(2x)·e^-x + C^*₁e^-3x·cos(2x)
C₂ = cos(2x)·e^-x·sin(2x)+sin²(2x)·e^-x + C^*₂e^-3x·sin(2x)
y = C₁ + C₂
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Скачать пример решения Скачать

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример. y″ + 5y' + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r² +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5² - 4·1·6 = 1


Корни характеристического уравнения: r₁ = -2, r₂ = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁ = e^-2x, y₂ = e^-3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y=C₁·e^-2x+C₂·e^-3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c₁+c2, то получаем первое уравнение:
c₁+c2 = 1
Находим первую производную: y' = -3·c₂·e^-3·x-2·c1·e^-2·x
Поскольку y'(0) = -3·c₂-2·c₂, то получаем второе уравнение:
-3·c₂-2·c₂ = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+c2 = 1
-3·c₂-2·c₂ = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c₁ = 6, c₂ = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y=6·e^-2x-5·e^-3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y^* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y' = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y' + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = ³/₁₃;B = ¹⁵/₁₃;
Частное решение имеет вид:
y^* = ³/₁₃cos(2x) + ¹⁵/₁₃sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

см. также диф уравнения онлайн

Пример 2. y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде  y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 + 1 = 0
D = 02 - 4·1·1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = i,  r₂ = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^0xcos(x) = cos(x)
y₂ = e^0xsin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y=C₁·cos(x)+C₂·sin(x)

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r₁).

Уравнение имеет частное решение вида:
y* = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y' = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y =  (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B  = 1
-2A  = 0
Следовательно:
A = 0; B = ¹/₂;
Частное решение имеет вид: y* = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Скачать пример решения

см. также решение диф уравнения в онлайн.